无独有偶， 粒子物理学中产生于五六十年代的另一个很高明的想法也受到了无质量粒子的困扰， 那便是 1954 年由 C. N. Yang (1922-) 和 R. Mills (1927-1999) 提出， 现在被称为 Yang-Mills 理论的定域 non-Abelian 规范理论。 这种理论是对 QED 所具有的定域 U(1) 规范对称性的推广， 最初是想用来描述同位旋对称性。 但它立刻就遇到了一个很大的困难， 那便是这种理论所具有的定域规范不变性会无可避免地导致无质量的矢量粒子 (被称为规范粒子， 类似于 QED 中的光子)， 而在现实中， 除光子外我们从未在实验上观测到任何这样的无质量矢量粒子。

就这样， Yang-Mills 理论与对称性自发破缺这两个出色的想法先后搁浅了， 推根溯源， 都是无质量粒子惹的祸。 但如果我们仔细研究一下这对难兄难弟的病根， 就会发现两者竟然象是互为解药！ 对称性自发破缺的问题出在哪里呢？ 出在整体连续对称性上， 而 Yang-Mills 理论的问题又出在哪里呢？ 出在定域规范对称性 (那是一种特殊的定域连续对称性) 上。 如果我们把这两者放在一起， 让对称性自发破缺干掉那些产生无质量矢量粒子的定域规范对称性， Yang-Mills 理论不就可以摆脱困境了吗？ 更妙的是， 由于 Yang-Mills 理论中的对称性不是整体而是定域的， Goldstone 定理将不适用于这种对称性的自发破缺， 这样一来说不定那些可恶的 Goldstone 粒子也会消失， 那岂不是两全其美？ 世界上会有这么好的事吗？ 还真的有。

最早明确指出这一点的是美国凝聚态物理学家 P. Anderson (1923-)。 对于 Anderson 来说， Goldstone 定理显然不可能是普遍成立的， 因为当时人们就已经知道超导体是一个连续对称性 - U(1) 对称性 - 自发破缺的体系， 但在这一破缺过程中并没有产生无质量的 Goldstone 粒子。 Anderson 很正确地意识到 U(1) 对称性的定域特点是使 Goldstone 定理失效的关键。 由于并非只有定域 U(1) 对称性具有定域特点， 事实上所有杨-米尔斯理论也都具有这一特点。 因此 Anderson 在 1963 年猜测道：“Goldstone 的零质量困难并不是一个严重的困难， 因为我们很可能可以用一个相应的 Yang-Mills 零质量问题来消去它”。 Anderson 的想法得到了一些物理学家的认同， 但也有人认为这种凝聚态物理的类比不能应用到相对论量子场论中。 这一怀疑很快就被推翻了。 1964 年， 英国物理学家 P. Higgs (1929-)、 比利时物理学家 F. Englert 与 R. Brout 等几乎同时证实了 Anderson 的想法。 这便是描述规范对称性自发破缺的著名的 Higgs 机制^[注一]。

不过 Higgs 等人的漂亮工作并没有引起立即的轰动。 Higgs 就这一工作所写的两篇短文的第二篇甚至一度遭到退稿， 理由是 “与物理世界没有明显关系”。 这一退稿理由使 Higgs 深感不快， 但也促使他更深入地考虑了理论可能带来的实验结果， 并对论文进行了补充。 Higgs 后来认为， 他因遭到退稿而偶然添加的那些内容是人们将 Higgs 粒子及 Higgs 机制与他的名字联系在一起的主要原因。

做了这么多的背景介绍， 现在让我们回到主题 - 质量的起源 - 上来。 Higgs 机制不仅一举 “救活” 了粒子物理学中对称性自发破缺与 Yang-Mills 理论这两个极为出色的想法， 而且在救助过程中为我们提供了一种产生质量的新方法， 即通过规范对称性的自发破缺， 从不带质量项的 Lagrangian 中产生出质量来。 我们在上面 (尤其是 [注一] 中) 已经提到规范粒子可以由此获得质量。 不过规范粒子的质量在宇宙可见物质质量中所占的比例极小， 我们更关心的是在可见物质质量中占主要比例的那些粒子 - 费米子。 那么费米子的情况如何呢？ 1967 年， Weinberg 和 Salam 将 Higgs 机制应用到 S. Glashow (1932-) 等人几年前所提出的旨在描述电磁和弱相互作用的 SU(2)×U(1) 规范理论中， 建立起了所谓的电弱统一理论^[注二]。 这一理论与描述强相互作用的量子色动力学一起组成了粒子物理的标准模型。 在标准模型中， 费米子也是通过规范对称性的自发破缺， 或者更确切地说， 通过电弱统一理论中的规范对称性自发破缺获得质量的。 具体地讲， 在标准模型中， 费米场 ψ 与标量场 - 也称为 Higgs 场 - φ 之间存在所谓的 Yukawa 耦合 -λψψφ (其中 λ 为耦合常数)^[注三]。 由于 Higgs 场 φ 具有非零的真空期待值， 因此将这一耦合项相对于真空展开后就会出现费米子质量项 -mψψ。

因此， 在标准模型中， 所有基本粒子的质量都来源于电弱统一理论中的规范对称性自发破缺。 这是标准模型对质量起源问题的直接回答。

遗憾的是， 这一回答却是一个不尽人意的回答。 为什么这么说呢？ 因为这一回答与其说是在回答问题， 不如说是在转嫁问题， 它只是把我们想要理解的基本粒子的质量值转嫁给了 Higgs 场的真空期待值、 规范耦合常数以及 Yukawa 耦合常数。 这其中 Higgs 场的真空期待值及规范耦合常数与基本粒子 (主要是费米子) 的种类无关， 可以算是普适的， 因此将质量向这些参数约化不失为是一种有效的概念约化。 但 Yukawa 耦合常数则不然， 它对于每一种费米子都有一个独立的数值。 由于这些参数的存在， 标准模型的 Lagrangian 虽然不显含质量参数， 但它所包含的与质量直接有关的自由参数数目却一点也不比原先需要解释的质量参数数目来得少 (事实上还略多一点)。 用这种方式来解释质量的起源， 就象 S. Hawking (1942-) 在 《A Brief History of Time》 中引述的一位老妇人的理论。 那位老妇人宣称世界是平面的， 由一只大乌龟托着。 当被问到那只大乌龟本身站在哪里时， 老妇人冷静地回答说： 站在另一只大乌龟的背上。

因此， Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面来衡量是非常成功的， 它们所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻。 但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型， 本身却没能实现对质量概念的真正约化， 从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。

1. 用技术性的语言来说， 在 Higgs 机制中对应于 Goldstone 粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去 (必须注意的是： “定域” 二字在这里至关重要， 整体的连续变换是不具有这种能力的)。 从规范理论的角度讲， 这相当于选取了一种被称为幺正规范 (unitary gauge) 的特殊规范。 这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺， 从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。 人们有时把这种机制形象地描述为： 规范粒子通过 “吃掉” Goldstone 粒子而获得质量。
2. 电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是 SU(2)×U(1) 破缺为 U(1)， 由此产生的三个 Goldstone 粒子通过 Higgs 机制使四个规范粒子中的三个 (即 W^± 和 Z) 获得质量， 剩下的一个 (即光子) 则维持零质量。
3. 更确切地讲， 标准模型中的 Yukawa 耦合是形如 -λψ_Lψ_Rφ - h.c. 的项， 其中 ψ 为质量本征态 (不同于弱本征态)， L 与 R 分别代表左右手征部分， h.c. 代表厄密共轭。 Yukawa 耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。

本文节选自《质量的起源》，全文链接：http://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/

本系列曾在《现代物理知识》杂志上连载， 其中第 3-6 节发表于二零零七年第一期 (发表时的标题为： 质量起源 - 电磁质量说的兴衰)； 第 7-8 节发表于二零零七年第二期 (发表时的标题为： 质量起源 - 从对称性破缺到希格斯机制)； 第 9-13 节发表于二零零七年第三期 (发表时的标题为： 质量起源 - 量子色动力学与质量起源)。 第一、 三两期的发表稿因版面所限， 略去了全部注释， 内容也有所删节。 第二期因篇幅较短， 则保留了全部正文及多数注释 (注释并入了正文)。